A kamatos kamat és a mértani sorozat két, egymáshoz szorosan kapcsolódó fogalom. Amikor egy befektetés értéke minden időszakban ugyanakkora százalékkal növekszik, akkor az egymást követő értékei mértani sorozatot alkotnak.
Ennek az oka egyszerű: minden időszak végén az előző értéket ugyanazzal a számmal szorzod meg.
Miért mértani sorozat a kamatos kamat?
A példa kedvéért tegyük fel, hogy 100.000 Ft-ot fektetsz be évi fix 10%-os hozammal.
A kamatos kamat elve mentén (a korábban megtermelt hozam is befektetődik és termel), a befektetésed értéke évről évre így alakul:
- induláskor: 100.000 Ft
- 1 év után: 110.000 Ft
- 2 év után: 121.000 Ft
- 3 év után: 133.100 Ft
Leegyszerűsítve, minden évben az előző év végi összeget 1,1-del szorzod meg.
Sorozatként ábrázolva az év végi eredményeket, a következőt kapod:
100 000; 110 000; 121 000; 133 100; …
Ez egy mértani sorozat, amelynek hányadosa:
q = 1,1
A mértani sorozatban két egymást követő tag hányadosa mindig ugyanaz.
Hogyan kapcsolódik a két képlet?
A mértani sorozat egyik gyakori képlete:
aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹
Ha viszont a befektetés induláskori értékét T₀-val jelölöd, egyszerűbben felírhatod:
Tₙ = T₀ × qⁿ
Kamatos kamatnál a q nem más, mint a kamattényező:
q = 1 + p / 100
ahol p a kamatláb vagy hozam százalékban.
Így megkapod a kamatos kamat képletét:
Tₙ = T₀ × (1 + p / 100)ⁿ
Vagyis a kamatos kamat képlete lényegében a mértani sorozat képletének pénzügyi alkalmazása.
Példa a kamatos kamat és a mértani sorozat kapcsolatára
Az előző példában:
T₀ = 100 000 Ft
p = 10%
q = 1,1
Három év után:
T₃ = 100 000 × 1,1³
T₃ = 133 100 Ft
Ugyanerre az eredményre jutsz akkor is, ha a befektetés egymást követő éves értékeit mértani sorozatként kezeled.
Mi a mértani sorozat hányadosa kamatos kamatnál?
A hányados mindig a kamattényező:
q = 1 + p / 100
Például:
- 5%-os hozamnál: q = 1,05
- 8%-os hozamnál: q = 1,08
- 10%-os hozamnál: q = 1,10
Minél magasabb a hozam, annál nagyobb a mértani sorozat hányadosa, így – logikusan – annál gyorsabban növekszik az összeg.
Mi történik rendszeres befizetéseknél?
A fenti esetben egyetlen kezdőtőke növekedését vizsgáltuk, további befizetések nélkül. Ha viszont rendszeresen – például minden hónapban vagy évben – újabb összeget is befizetsz, már gyűjtőjáradékról beszélhetünk.
A gyűjtőjáradékről, valamint arról, hogy mi a különbség a kamatos kamat és a gyűjtőjáradék között, külön útmutatónkban olvashatsz: kamatos kamat és gyűjtőjáradék.
Ha pedig nem kézzel szeretnéd kiszámolni a befektetésed jövőbeli értékét, használd a kamatos kamat kalkulátort.
A kamatos kamat működéséről részletesebben a kamatos kamat útmutatónkban olvashatsz.